Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（1， ）
（1）椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 过点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．
①当直线l的倾斜角为45°时，求|MN|的长；
②求△MF1N的内切圆的面积的最大值，并求出当△MF1N的内切圆的面积取最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，得a2﹣b2=c2=1，且 ，

解得：a2=4，b2=3．

故椭圆C的方程为 ；

（2）解：①直线l的方程为y=x﹣1，

联立 ，消去x得，7x2﹣8x﹣8=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则 ．

∴|MN|=

= ；

②设直线l的方程为：x=my+1，由 ，得

（3m2+4）y2+6my﹣9=0．

△=（6m）2+36（3m2+4）=144m2+144＞0．

．

设△MF1N的内切圆半径为r，由 可知，

当 最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大．

由 = ．

令t= ，则t≥1，且m2=t2﹣1，则 ．

令f（t）= ，

则 ，从而f（t）在区间[1，+∞）上单调递增，

故有f（t）≥f（1）=4．

∴ ．

即当t=1，m=0时， 有最大值3，即 ．

这时△MF1N的内切圆面积的最大值为 ，直线l的方程为x=1．

【解析】（1）由椭圆的焦距2c=1结合隐含条件得关于a，b的一个方程，再由椭圆过点P（1， ）得另一方程，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）①写出直线l的方程和椭圆方程联立后由弦长公式求得|MN|的长；②设出直线l的方程x=my+1，和椭圆方程联立，得到当 最大时，r也最大，△MF1N的内切圆面积也最大，利用根与系数关系把△MF1N的面积转化为含有m的代数式，换元后利用导数判断其单调性，由函数单调性求得最值并得到直线l的方程．