Question

1．已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若g（x）=-f（-x）．
（1）写出g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由代入法，即可得到g（x）的解析式；
（2）f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，当a＞1，x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m恒成立?m≤（log_a$\frac{1+x}{1-x}$）_min，x∈[0，1），再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）g（x）=-f（-x）=-log_a（1-x）（a＞1）；
（2）f（x）+g（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，
当a＞1，x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m恒成立
?m≤（log_a$\frac{1+x}{1-x}$）_min，x∈[0，1）．
令h（x）=$\frac{1+x}{1-x}$=-1-$\frac{2}{x-1}$，x∈[0，1）．
h′（x）=$\frac{2}{（x-1）^{2}}$＞0，
即有函数h（x）在x∈[0，1）单调递增，
则当x=0时，函数h（x）取得最小值1．
即有m≤log_a1=0．
故实数m的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了对数的运算性质、不等式的解法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．