Question

10．数学运算中，常用符号来表示算式，如$\sum_{i=0}^{n}{a}_{i}$=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，其中i∈N，n∈N^*
（Ⅰ）若a₀、a₁、a₂、…a_n成等差数列，且a₀=0，公差d=1，求证：$\sum_{i=0}^{n}$（a_iC${\;}_{n}^{i}$）=n•2^n-1
（Ⅱ）若$\sum_{k=1}^{2n}$（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx^2k，b_n=$\sum_{i=0}^{n}{a}_{2i}$，记d_n=1+$\sum_{i=1}^{n}$[（-1）ⁱb_iC${\;}_{n}^{i}$]且不等式t•（d_n-1）≤b_n对于?n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明$\sum_{i=0}^{n}$（a_iC${\;}_{n}^{i}$）=n•2^n-1；
（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出b_n，再借助于二项式系数的性质化简可得d_n，代入不等式t•（d_n-1）≤b_n，分n为奇数和偶数求得t的取值范围．

解答 （Ⅰ）证明：由已知得，等差数列的通项公式为a_n=n，
则$\sum_{i=0}^{n}$（a_iC${\;}_{n}^{i}$）=${a}_{0}+{a}_{1}{C}_{n}^{1}+{a}_{2}{C}_{n}^{2}+…+{a}_{n}{C}_{n}^{n}$=${a}_{0}（{C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+…+{C}_{n}^{n}）+（{C}_{n}^{1}+2{C}_{n}^{2}+…+n{C}_{n}^{n}）$．
∵$k{C}_{n}^{k}=n{C}_{n-1}^{k-1}$，∴${C}_{n}^{1}+2{C}_{n}^{2}+…+n{C}_{n}^{n}=n（{C}_{n-1}^{0}+{C}_{n-1}^{1}+…+{C}_{n-1}^{n-1}）$，
∴$\sum_{i=0}^{n}$（a_iC${\;}_{n}^{i}$）=${a}_{0}•{2}^{n}+n•{2}^{n-1}=n•{2}^{n-1}$；
（Ⅱ）解：令x=1，则$\sum_{i=0}^{2n}{a}_{i}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{2n}=\frac{2（1-{4}^{n}）}{-1}=2•{4}^{n}-2$，
令x=-1，则$\sum_{i=0}^{2n}[（-1）^{i}{a}_{i}]=0$，∴${b}_{n}=\sum_{i=0}^{n}{a}_{2i}=\frac{1}{2}（2•{4}^{n}-2）={4}^{n}-1$，
由已知可知，${d}_{n}={C}_{n}^{0}-（4-1）{C}_{n}^{1}+（{4}^{2}-1）{C}_{n}^{2}$$-（{4}^{3}-1）{C}_{n}^{3}+…+（-1）^{n}（{4}^{n}-1）{C}_{n}^{n}$
=$[{C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}（-4）+{C}_{n}^{2}（-4）^{2}+{C}_{n}^{3}（-4）^{3}+…+{C}_{n}^{n}（-4）^{n}]$$-[{C}_{n}^{0}-{C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}-{C}_{n}^{3}+{C}_{n}^{4}+…+（-1）^{n}{C}_{n}^{n}]+1$
=（1-4）ⁿ-（1-1）ⁿ+1=（-3）ⁿ+1，
∴${d}_{n}=（-3）^{n}+1$，
将${b}_{n}={4}^{n}-1，{d}_{n}=（-3）^{n}+1$代入不等式t•（d_n-1）≤b_n，得t•（-3）ⁿ≤4ⁿ-1，
当n为偶数时，$t≤（\frac{4}{3}）^{n}-（\frac{1}{3}）^{n}$，∴t≤$（\frac{4}{3}）^{2}-（\frac{1}{3}）^{2}=\frac{5}{3}$；
当n为奇数时，$t≥-[（\frac{4}{3}）^{n}-（\frac{1}{3}）^{n}]$，∴$t≥-[（\frac{4}{3}）^{1}-（\frac{1}{3}）^{1}]=-1$．
综上所述，所求实数t的范围是[-1，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题考查数列的求和，考查了二项式系数的性质，考查了逻辑思维能力和推理运算能力，体现了数学转化思想方法，属难题．