Question

已知递增等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．

Answer 1

（1）．  （2）的最小值为． 

本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，
由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。
解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得或（舍去）．     …………3分
所以，．       …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为．    …………8分
下证不等式对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，，成立．
假设当时，不等式成立，
当时，， …………10分
只要证 ，只要证 ，
只要证 ，只要证 ，
只要证 ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证 
只要证 ，  
设数列的通项公式，       …………10分
，   …………12分
所以对，都有，可知数列为单调递减数列．
而，所以恒成立，
故的最小值为．