Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a1=a，当n≥2时， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．
（1）求a的值；
（2）设数列{cn}的前n项和为Tn ， 且cn=3n﹣1+a5 ， 求使不等式4Tn＞S10成立的最小正整数n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d．

当n≥2时， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．a1=a，

分别令n=2，3，可得： =12a2+a2， =27a3+ ．

∴（2a+d）2=12（a+d）+a2，2a+2a2+a3=27=5a+4d，

联立解得a=3，d=3

（2）解：由（1）可得：an=3+3（n﹣1）=3n．

Sn= = ．

cn=3n﹣1+a5=15+3n﹣1．

∴数列{cn}的前n项和Tn= +15n= +15n．

不等式4Tn＞S10，即：4×[ +15n]＞ ．

化为：f（n）=23n+60n﹣167＞0，

f（2）=﹣29＜0，f（3）=67＞0．

∴ 使不等式4Tn＞S10成立的最小正整数n的值为3

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．当n≥2时， =3n2an+S ，an≠0，n∈N*．a1=a，分别令n=2，3，可得： =12a2+a2， =27a3+ ．化简解出即可得出．（2）由（1）可得：an=3n．Sn= ．cn=3n﹣1+a5=15+3n﹣1．求得数列{cn}的前n项和Tn= +15n．代入不等式4Tn＞S10，化简即可得出．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．