Question

已知实数a，b，c∈R，a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）如果存在实数a，使得f（a）＜0，证明方程f（x）=0必有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），且满足x₁＜a＜x₂；
（2）如果c为非零常数，且a=b=1，不等式f（x）≥λx对任意x∈[1，2]成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）将f（x）=ax²+bx+c配方，求出最小值，通过最小值大于0，等于0，说明抛物线在x轴上方，则不存在a＞0，使得f（a）＜0，从而说明结论成立；
（2）不等式f（x）≥λx，即有x²+x+c≥λx对任意x∈[1，2]成立，即有λ-1≤x+

c

x

，对任意x∈[1，2]成立．
对c讨论，当c＜0时，0＜c≤1时，当1＜c＜4时，当c≥4时，通过单调性，分别求出x+

c

x

的最小值，即可得到结论．

解答： （1）证明：f（x）=ax²+bx+c
=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，
由于a＞0，则抛物线开口向上，
若

4ac-b2

4a

≥0，则抛物线在x轴上方，
则不存在a＞0，使得f（a）＜0，
则

4ac-b2

4a

＜0，即有△=b²-4ac＞0，
则方程f（x）=0必有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
且满足x₁＜a＜x₂；
（2）解：a=b=1，不等式f（x）≥λx，
即有x²+x+c≥λx对任意x∈[1，2]成立，
即有λ-1≤x+

c

x

，对任意x∈[1，2]成立．
当c＜0，则x+

c

x

在[1，2]递增，x=1时，取最小值1+c，则λ≤2+c；
当c＞0，可得x+

c

x

（x＞0），在（0，

c

）递减，（

c

，+∞）递增，
当

c

≤1，即0＜c≤1，x+

c

x

在[1，2]递增，则x=1取最小值1+c，即有λ≤2+c；
当1＜

c

＜2，即1＜c＜4，x+

c

x

在x=

c

取最小值2

c

，即有λ≤1+2

c

；
当

c

≥2即c≥4，时，x+

c

x

在[1，2]递减，则x=2取最小值2+

c

2

，即有λ≤3+

c

2

．
综上，c＜0或0＜c≤1时，λ≤2+c；当1＜c＜4时，λ≤1+2

c

；
当c≥4时，λ≤3+

c

2

．

点评：本题考查二次函数的性质和二次方程的实根情况，考查二次不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．