Question

已知函数f（x）=x²-2x，其中a-1≤x≤a+1，a∈R．设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-1，a+1]}，若M中的所有点围成的平面区域面积为S，则S的最小值为

2

．

Answer 1

分析：设f（n）∈[p，q]，则M中的所有点围成的平面区域面积为S=[（a+1）-（a-1）]（q-p）=2（q-p），分情况讨论求出f（n）的值域，然后表示出S，即可求出S的最小值．

解答：解：（1）当a+1≤1即a≤0时，f（x）在[a-1，a+1]上单调递减，
f（a+1）≤f（n）≤f（a-1），即f（n）∈[a²-1，a²-4a+3]，
此时，S=[（a+1）-（a-1）]（a²-4a+3-a²+1）=2（-4a+4）≥8；
（2）当a-1≥1即a≥2时，f（x）在[a-1，a+1]上单调递增，
f（n）∈[a²-4a+3，a²-1]，
此时，S=2（4a-4）≥8；
（3）当0≤a≤1时，f（n）∈[-1，a²-4a+3]，
此时，S=2（a²-4a+3+1）=2（a-2）²≥2；
（4）当1＜a＜2时，f（n）∈[-1，a²-1]，
此时，S=2（a²-1+1）=2a²＞2；
综上所述，S≥2，即S的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的值域的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．