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11.已知曲线C:x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
①求证:不论a取何实数,曲线C必过一定点A
②当a≠2时,求证:曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上并写出此直线方程.
③若a=1时,动点P到①中定点A及点B(-2,1)的距离之比为1:2,求点P的轨迹M,并指出曲线M与曲线C的公共点个数.

分析 ①曲线C即 x2+y2-20+a(-4x+2y+20)=0,由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$,求得曲线C一定经过点A(4,-2).
②证明:当a≠2时,曲线C即 (x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,表示一个圆,且圆心在直线y=-$\frac{1}{2}$x上.
③设动点P(x,y),由题意可得 $\frac{\sqrt{{(x-4)}^{2}{+(y+2)}^{2}}}{\sqrt{{(x+2)}^{2}{+(y-1)}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,化简可得(x-6)2+(y+3)2=20,故点P的轨迹是以F1(6,-3)为圆心,半径等于R1=2$\sqrt{5}$的圆.再根据a=1时,圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得点P的轨迹M与曲线C的公共点个数为2.

解答 解:①证明:曲线C:x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0,即 x2+y2-20+a(-4x+2y+20)=0,
由 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-20=0}\\{-4x+2y+20=0}\end{array}\right.$,求得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$,故曲线C一定经过点A(4,-2).
②证明:当a≠2时,曲线C即 (x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2
表示以(2a,-a)为圆心、半径等于$\sqrt{5}$|a-2|的圆,且圆心在直线y=-$\frac{1}{2}$x上.
③设动点P(x,y)到①中定点A及点B(-2,1)的距离之比为1:2,
即 $\frac{\sqrt{{(x-4)}^{2}{+(y+2)}^{2}}}{\sqrt{{(x+2)}^{2}{+(y-1)}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$,化简可得(x-6)2+(y+3)2=20,故点P的轨迹是以F1(6,-3)为圆心,半径等于R1=2$\sqrt{5}$的圆.
a=1时,曲线C即 (x-2)2+(y-1)2=5,是以F2(2,-1),半径等于R2=$\sqrt{5}$的圆.
再根据F1F2=2$\sqrt{5}$,大于半径之差而小于半径之和,故点P的轨迹M为圆F1
故曲线M与曲线C的公共点个数为2.

点评 本题主要考查圆的标准方程,轨迹方程的求法,圆和圆的位置关系,属于中档题.

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