Question

若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c
（1）若sin（A+

π

6

）=

1

3

，求sin（2A-

π

6

）的值；
（2）cosA=

1

3

，b=3c，求sinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）由sin（A+

π

6

）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+

π

3

）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；
（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．

解答： 解：（1）∵sin（A+

π

6

）=

1

3

，
∴cos（2A+

π

3

）=1-2sin²（A+

π

3

）=

7

9

，
则sin（2A-

π

6

）=sin（2A+

π

3

-

π

2

）=-cos（2A+

π

3

）=-

7

9

；
（2）∵cosA=

1

3

，b=3c，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a²+c²=b²，即B为直角，
则sinC=

c

b

=

1

3

．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．