Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0；
（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）求圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程
（3）从圆C外一点P（x₁，y₁）向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出圆心和半径，设直线方程为x+y-a=0或y=kx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数a和k的值，即可得到所求切线方程；
（2）求出圆心关于直线x-y-3=0 的对称点坐标，而对称圆的半径和已知圆的半径相等，由圆方程的一般式即可求出对称圆的方程；
（3）由切线的性质得到△PCM为直角三角形，利用勾股定理得|PC|²=|PM|²+r²，由|PM|²=|PO|²利用两点间的距离公式化简可得点P的轨迹为2x₁-4y₁+3=0，再求得原点在直线2x-4y+3=0上的射影点，即得使|PM|最小的P点的坐标．

解答：解：（1）圆C：x²+y²+2x-4y+3=0即（x+1）²+（y-2）²=2，
表示圆心为C（-1，2），半径等于

2

的圆．
设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，过原点的切线方程为kx-y=0，
则圆心C到切线的距离等于半径，
可得：

2

=

|-1+2-a|

2

，求得a=-1或3．
再由

2

=

|-k+2|

k2+1

，求得k=2±

6

，
故所求的切线的方程为x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±

6

）x；
（2）由（1）圆C（x+1）²+（y-2）²=2的圆心在（-1，2），半径等于

2

．
∵点P（m，n）关于直线x-y-3=0的对称的点为P'（n+3，m-3）
∴点（-1，2）关于直线x-y-3=0对称的点的
坐标为（2+3，-1-3）即（5，-4），
故圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程是 （x-5）²+（y+4）²=2；
（3）设P的坐标为（x，y）
由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0即为动点P的轨迹方程．
∵原点在直线2x-4y+3=0上的射影点为（-

3

10

，

3

5

），
∴使|PM|最小的P点的坐标为（-

3

10

，

3

5

）．

点评：本题给出圆的方程，求圆在轴上截距相等的切线方程和圆关于直线对称的圆的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．