Question

定义在实数集R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=Ax+B（A，B为常数）使得f（x）≥g（x）对任意的x∈R都成立，则称
g（x）为函数f（x）的一个承托函数．以下说法
（1）函数f（x）=x²-2x不存在承托函数；
（2）函数f（x）=x³-3x不存在承托函数；
（3）函数f(x)=

2x

x2-x+1

不存在承托函数；
（4）g（x）=1为函数f（x）=x⁴-2x³+x²+1的一个承托函数；
（5）g（x）=x为函数f（x）=e^x-1的一个承托函数．
中正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根据承托函数的定义知：只要函数f（x）有最小值，就一定有承托函数g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可
（1）因为函数f（x）=x²-2x为二次函数可用配方法求最小值，就可判断有无承托函数；
（2）因为函数f（x）=x³-3x为三次函数可用导数判断单调性，从而可知函数有无最小值，就可判断有无承托函数；
（3）根据函数的特点可采用判别式求值域，从而可知函数有无最小值，就可判断有无承托函数；
（4）因为函数f（x）=x⁴-2x³+x²+1为四次函数可用导数判断单调性，从而可知函数最小值，就可判断g（x）=1是不是它的承托函数；
（5）因为e^x＞0，所以函数f（x）=e^x-1＞-1，而g（x）=x≤-1不能恒成立，就可判断g（x）=x不是它的承托函数．

解答：解：根据承托函数的定义知：只要函数f（x）有最小值，就一定有承托函数g（x），只要g（x）的最大值小于等于f（x）的最小值即可．
（1）错，因为f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，当x=1时，f（x）有最小值-1
所以存在承托函数，例如：g（x）=-1就是其中一个；
（2）对，因为f（x）=x³-3x的导数f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得：x=±1
所以，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增．
由此可知：函数无最小值，不存在承托函数；
（3）错，因为f(x)=

2x

x2-x+1

定义域为R，用判别式法求值域如下：
把y=

2x

x2-x+1

变形得：yx²-（y+2）x+y=0
当y=0时，x=0
当y≠0时，由△=（y+2）²-4y²≥0得：-

2

3

≤y＜0或0＜y≤2
综上可知：-

2

3

≤y≤2，故y有最小值-

2

3

所以，f(x)=

2x

x2-x+1

存在承托函数，例如：g（x）=-

2

3

（4）对，因为函数f（x）=x⁴-2x³+x²+1的导数 f′（x）=4x³-6x²+2x=2x（2x-1）（x-1）
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（

1

2

，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增
又∵f（0）=1，f（1）=1，∴f（x）的最小值为1，所以g（x）=1是它的承托函数
（5）错，因为e^x＞0，所以函数f（x）=e^x-1＞-1
因为对于x∈R，g（x）=x≤-1显然不能恒成立，所以，g（x）=x不是函数f（x）=e^x-1的一个承托函数

点评：本题给出了一个数学新定义承托函数，所以属于创新性题目，观其实质为求函数最值的问题，常见的方法有配方法、导数法、判别式法、基本不等式法等等．