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若关于x的方程lg(ax)=2lg(x+3)有两个不等实根,求实数a的范围.
分析:由于a出现在真数位置,故我们可以对a分大于0,等于0,小于0三种情况进行讨论,然后利用对数函数的运算性质,将问题转化为整式方程根的个数问题,结合韦达定理,即可得到结论.
解答:解:若a=0,则lg(ax)无意义,此时方程lg(ax)=2lg(x+3)无实根;
若a>0,则方程lg(ax)=2lg(x+3)有两个不等实根,即
ax=(x+3)2有两个不等正根,
6-a<0
(6-a)2-36>0

解得:a>12
若a<0,则方程lg(ax)=2lg(x+3)有两个不等实根,即
ax=(x+3)2有两个不等负根,
6-a>0
(6-a)2-36>0

解得:a<0
综上满足条件的实数a的范围a<0,或a>12
点评:本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中利用对数函数的运算性质,将问题转化为整式方程根的个数问题,是解答本题的关键.
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