Question

若关于x的方程lg（ax）=2lg（x+3）有两个不等实根，求实数a的范围．

Answer 1

分析：由于a出现在真数位置，故我们可以对a分大于0，等于0，小于0三种情况进行讨论，然后利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，结合韦达定理，即可得到结论．

解答：解：若a=0，则lg（ax）无意义，此时方程lg（ax）=2lg（x+3）无实根；
若a＞0，则方程lg（ax）=2lg（x+3）有两个不等实根，即
ax=（x+3）²有两个不等正根，
则

6-a＜0 (6-a)2-36＞0

，
解得：a＞12
若a＜0，则方程lg（ax）=2lg（x+3）有两个不等实根，即
ax=（x+3）²有两个不等负根，
则

6-a＞0 (6-a)2-36＞0

，
解得：a＜0
综上满足条件的实数a的范围a＜0，或a＞12

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，是解答本题的关键．