【题目】【2018届北京市海淀区】如图,三棱柱侧面
底面
,
,
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求三棱柱的体积;
(Ⅲ)在直线上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)在直线
上存在点
,使得
平面
,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题目中的侧面底面
,
由条件知
底面
,
;(3)连接
并延长,与
的延长线相交,设交点为
,证线线平行即
,进而得到线面平行。
解析:
(Ⅰ)证明:三棱柱中,
侧面底面
,
,
又因为侧面底面
,
底面
,
所以平面
,又因为
平面
,
所以;
(Ⅱ)连接 ,因为三棱柱
中,所以
.
因为,所以
.又因为
,且
.
所以△是边长为2的正三角形.因为
是棱
的中点,所以
,
又因为,
,所以
.
因为,
底面
,
所以底面
.所以三棱柱
的体积为
;
(Ⅲ)在直线上存在点
,使得
平面
.
证明如下:连接并延长,与
的延长线相交,设交点为
.连接
.
因为,所以
,故
由于为棱
的中点,所以
,故有
又为棱
的中点,故
为
的中位线,所以
.
又平面
,
平面
,所以
平面
.
故在直线上存在点
,使得
平面
.
此时,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高考复习经过二轮“见多识广”之后,为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率
的关系,对某校高三某班学生进行了关注统计,得到如表数据:
1 | 2 | 3 | 4 | |
20 | 30 | 50 | 60 |
(1)求关于
的线性回归方程,并预测答题正确率是
的强化训练次数(保留整数);
(2)若用(
)表示统计数据的“强化均值”(保留整数),若“强化均值”的标准差在区间
内,则强化训练有效,请问这个班的强化训练是否有效?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,样本数据
,
,…,
的标准差为
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4,坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求|x+y﹣1|的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料,乙材料
.用5个工时;生产一件产品B需要甲材料
,乙材料
,用3个工时。生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元,该企业现有甲材料150
,乙材料
,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A,产品B的利润之和的最大值为______________元.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,射线和
均为笔直的公路,扇形
区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中
、
分别在射线
和
上.经测量得,扇形
的圆心角(即
)为
、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形
区域外修建一条公路
,分别与射线
、
交于
、
两点,并要求
与扇形弧
相切于点
.设
(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.
(1)试将公路的长度表示为
的函数,并写出
的取值范围;
(2)试确定的值,使得公路
的长度最小,并求出其最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数,
),在以坐标原点为极点,
轴非负轴为极轴的极坐标系中,曲线
:
(
为极角).
(1)将曲线化为极坐标方程,当
时,将
化为直角坐标方程;
(2)若曲线与
相交于一点
,求
点的直角坐标使
到定点
的距离最小.
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