Question

在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=

π

3

，侧棱AA₁与对角线BD₁所成的角为θ，则θ为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：连结BD₁，由已知得∠D₁BB₁是侧棱AA₁与对角线BD₁所成的角θ，由此利用余弦定理能求出θ=

π

3

．

解答： 解：连结BD₁，
∵在每条棱长都相等的底面是菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AA₁∥BB₁，
∴∠D₁BB₁是侧棱AA₁与对角线BD₁所成的角θ，
设直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，由∠ABC=

π

3

，
得B₁D₁=

1+1-2×1×1×cos120°

=

3

，
∴tanθ=tan∠D₁BB₁=

B1D1

BB1

=

3

，
∴θ=

π

3

．
故选：C．

点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．