Question

8．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间，解2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$可得对称轴方程；
（Ⅱ） 由x的范围可得-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，可得三角函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
由2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$可得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的对称轴方程为x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$即x=0时，f（x）的最小值为-1，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）的最大值为2．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．