Question

在一个盒子中，放有标号分别为2，3，4的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ=|x-3|+|y-x|．
（I）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意x，y可能的取值为2、3、4由此可得出，|x-3|≤1，|y-x|≤2，即可得ξ≤3，分析出变量ξ的最大值时x，y的值，计算出事件“ξ取得最大值”包含的基本事件种数，由公式算出概率．
（Ⅱ）ξ的所有 取值为0，1，2，3，分别计算出ξ取每一个值时概率，列出分布列，由公式计算出数学期望．

解答：解：（I）∵x，y可能的取值为2、3、4，∴|x-3|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且当x=2，y=4，或x=4，y=2时，ξ=3．即事件ξ=3对应的基本事件有两种       
因此，随机变量ξ的最大值为3
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9种，
∴P(ξ=3)=

2

9

．
答：随机变量的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为

2

9

．
（II） ξ的所有 取值为0，1，2，3．∵ξ=0时，只有 x=3，y=3这一种情况，ξ=1时，
有 x=2，y=2或x=3，y=2或x=3，y=4或x=4，y=4四种情况，ξ=3时，有 x=2，y=3或x=4，y=3两种情况．
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=1)=

4

9

，P(ξ=2)=

2

9

…（10分）
则随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

因此，数学期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．…．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是求出分布列，熟练掌握概率的求法公式是准确得出分布列的关键，本题知识性较强，考查到了求概率，求分布列，求期望，是概率中一个典型题，题后要总结其解题脉络．