Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，记sinA+cosA=

1

5

．
（1）求tanA的值；
（2）若AB=1，AC=5，求sin（C+2B）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（1）将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA-cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出tanA的值；
（2）利用余弦定理列出关系式求出BC的长，即为a的值，利用正弦定理求出sinB的值，代入原式后利用诱导公式化简，再利用余弦定理即可求出值．

解答： 解：（1）∵A为三角形内角，且sinA+cosA=

1

5

，
∴将sinA+cosA=

1

5

两边平方得：2sinAcosA=-

24

25

，
∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，
∴1-2sinAcosA=

49

25

，即（sinA-cosA）²=

49

25

，
∵sinA-cosA＞0，
∴sinA-cosA=

7

5

，
联立得：

sinA+cosA= 1 5 sinA-cosA= 7 5

，
解得：sinA=

4

5

，cosA=-

3

5

，
则tanA=-

4

3

；
（2）由AB=c=1，AC=b=5，cosA=-

3

5

，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

25+1-a2

10

=-

3

5

，
解得：AB=a=4

2

，
又由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

bsinA

a

=

5× 4 5

4 2

=

2

2

，
∵B＜A，∴B=

π

4

，
∴sin（C+2B）=sin（C+

π

2

）=cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

32+25-1

40 2

=

7 2

10

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．