分析 (1)化简可得f(x)=-2(cosx-$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1,由二次函数区间的最值分类讨论可得;
(2)问题可化为k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$,只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值,换元由二次函数区间的最值可得.
解答 解:(1)化简可得f(x)=2sin2x+2acosx-2a-1
=2(1-cos2x)+2acosx-2a-1
=-2cos2x+2acosx-2a+1
=-2(cosx-$\frac{a}{2}$)2+$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1,
由二次函数可知:当$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2时,
cosx=-1时函数取最大值-2-2a-2a+1=$\frac{7}{2}$,
解得a=-$\frac{9}{8}$,不满足a≤-2,应舍去;
当$\frac{a}{2}$≥1即a≥2时,cosx=1时函数取最大值-2+2a-2a+1=-1≠$\frac{7}{2}$,不合题意;
当-1<$\frac{a}{2}$<1即-2<a<2时,cosx=$\frac{a}{2}$时函数取最大值$\frac{{a}^{2}}{2}$-a+1=$\frac{7}{2}$,
解得a=-1,或a=5,由-2<a<2可得a=-1,符合题意;
综上可得a=-1;
(2)当x∈[0,$\frac{π}{3}$]时,$\frac{1}{2}$≤cosx≤1,
由(1)可得g(x)=$\frac{f(x)}{cosx}$-kcosx≥0可化为k≤$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$,
只需求y=$\frac{-2co{s}^{2}x-2cosx+3}{co{s}^{2}x}$=-2-$\frac{2}{cosx}$+$\frac{3}{co{s}^{2}x}$在$\frac{1}{2}$≤cosx≤1的最大值,
令t=$\frac{1}{cosx}$,由$\frac{1}{2}$≤cosx≤1可得1≤t≤2,换元可得y=3t2-2t-2,
由二次函数区间的最值可得当t=1时,y取最大值-1,故k≤-1
点评 本题考查三角函数恒等变换,涉及分类讨论和分类常数法以及二次函数区间的最值,属中档题.
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