Question

已知函数f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]．
（Ⅰ）求实数a的取值范围，使函数f（x）在[-2，2]上是减函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求f（x）的对称轴，根据二次函数的单调性即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）讨论对称轴x=a和区间的关系：a≥2，-2＜a＜2，a≤-2，根据二次函数的单调性及顶点即可求出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的对称轴是x=a；
要使f（x）在[-2，2]上是减函数，则：a≤-2；
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]；
（Ⅱ）f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1；
①当a≥2时，f（x）在[-2，2]上是增函数；
∴g（a）=f（2）=-5+4a；
②当-2＜a＜2时，g（a）=a²-1；
③当a≤-2时，f（x）在[-2，2]上是减函数；
∴g（a）=f（-2）=-5-4a；
综上得g（a）=

-4a-5 ，x≤-2 a2-1 ，-2＜a＜2 4a-5 ，a≥2

．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性特点：在对称轴的一边具有单调性，根据单调性及顶点情况求二次函数最大值的方法．