Question

如图所示的三棱锥P-ABC中，底面三角形ABC是边长为2的正三角形且PA=2，PA⊥底面ABC，求此三棱锥外接球的球心到侧面PAB的距离．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，可得球的半径R，再求三棱锥外接球的球心到侧面PAB的距离．

解答： 解：该三棱锥是如图所示正三棱柱的一部分，故它们的外接球相同．
设上、下底面正三角形的中心分别为O₁，O₂，则外接球的球心O为线段O₁O₂的中点，且O₁O₂⊥底面ABC．
连接AO，AO₂．
因为底面三角形ABC是边长为2的正三角形且PA=2，可得OO₂=1，AO₂=

2 3

3

．
在Rt△OO₂A中，AO²=A

O

2 2

+O

O

2 2

=

7

3

，即三棱锥的外接球半径为

21

3

．
△PAB的外接圆半径为

2

，设球心到侧面PAB的距离为d，则d²+（

2

）²=

7

3

，解得d=

3

3

．（12分）

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．