Question

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC₁的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA₁＝2.

(1)求证：CF∥平面AB₁E；
(2)求三棱锥C－AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：取AB₁的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB₁的中点，
∴FG∥BB₁，FG＝BB₁.
∵E为侧棱CC₁的中点，
∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG，∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E.
(2)∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥平面ABC.
又AC?平面ABC，∴AC⊥BB₁，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵BB₁∩BC＝B，∴AC⊥平面EB₁C，∴AC⊥CB₁，
∴VA－EB₁C＝ S△EB₁C·AC
＝××1＝.
∵AE＝EB₁＝，AB₁＝，∴S△AB₁E＝，
∵VC－AB₁E＝VA－EB₁C，∴三棱锥C－AB₁E在底面AB₁E上的高为.