Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最大值，最小值．

Answer 1

分析：（I）化简函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．为一个角的一个三角函数的形式，然后求函数f（x）的最小正周期；
（II）x∈[

π

4

，

3π

4

]，推出-1≤sin(2x+

π

4

)≤

2

2

，再求函数f（x）的最大值，最小值．

解答：解：（I）f(x)=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．（3分）
∴f（x）的最小正周期为π；（5分）
（II）．∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

4

，（7分）
∴-1≤sin(2x+

π

4

)≤

2

2

（10分）
∴-

2

≤f(x)≤1．（12分）
∴当x∈[

π

4

，

3π

4

]时，函数f（x）的最大值为1，最小值-

2

．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，是基础题．