Question

已知函数f(x)=lg|x|，

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)画出函数f(x)的图像草图；

(3)求函数f(x)的单调递减区间.

Answer 1

思路分析：本题主要考查对数函数的图像和性质.(1)确定函数的定义域，判断f(x)和f(-x)的关系；(2)函数f(x)的图像关于y轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图像观察出单调递增区间，再用定义证明.

解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).

f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，

∴f(-x)=f(x).

∴函数f(x)是偶函数.

(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称，将函数y=lgx的图像对称到y轴的左侧与函数y=lgx的图像合起来得函数f(x)的图像，如下图所示.

(3)方法一：由上图得函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0).

证明：设x₁、x₂∈(-∞,0)，且x₁＜x₂，

则f(x₁)-f(x₂)=lg|x₁|-lg|x₂|=lg=lg，

∵x₁、x₂∈(-∞,0)，且x₁＜x₂，

∴|x₁|＞|x₂|＞0.∴＞1.∴lg＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴函数f(x)在(-∞,0)上是减函数，

即函数的单调递减区间是(-∞,0).

方法二：函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).设y=lgu，u=|x|.

当函数f(x)是减函数时，由于函数y=lgu是增函数，

则函数u=|x|是减函数.

又函数u=|x|的单调递减区间是(-∞,0］，

∴函数f(x)=lg|x|的单调递减区间是(-∞,0).

绿色通道：作形如函数y=log_a|x+b|(a＞0,a≠1)的图像，通常利用平移变换画出图像，当a＞1时，函数y=log_a|x+b|的单调递增区间是(-b,+∞),单调递减区间是(-∞,-b);当0＜a＜1时,函数y=log_a|x+b|的单调递增区间是(-∞,-b).单调递减区间是(-b,+∞).判断有关对数函数的奇偶性.结合函数的定义域和对数的运算性质，通常利用定义法判断函数奇偶性.由对数函数和其他简单初等函数复合而成的简单复合函数，在讨论其单调性时，先求定义域，利用图像观察出单调区间，再用定义法证明，或利用复合函数的单调性口诀：“同增异减”直接得到.