Question

（2012•泰安一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与抛物线y²=4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足|MF|=

5

3

．
（I）求椭圆的方程；
（II）过点P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，满足

PA

•

PB

=-

5

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意焦点F（1，0），由|MF|=

5

3

，且点M在抛物线上可求xM=

5

3

-1=

2

3

代入可求M的纵坐标，然后由M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，及已知c，可求a，b，进而可求椭圆的方程
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0，容易检验直线l的方程不存在
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线于椭圆方程，根据方程的根与系数关系可求x₁x₂，代入

PA

•

PB

=x1x2+k2x1x2可求k

解答：解：（I）由题意可知抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∵|MF|=

5

3

，且点M在抛物线上
∴xM=

5

3

-1=

2

3

（2分）
∴yM2=4xM=

8

3

∵M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1
∴

4 9a2 + 8 3b2 =1 c=1 a2=b2+c2

（3分）
∴a²=4，b²=3
椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，l的方程x=0
∴A(0，

3

)，B(0，-

3

)
∴

PA

=(0，

3

-1)，

PB

 =(0，-

3

-1)
∴

PA

•

PB

=-2≠-

5

2

当斜率不存在时，直线l的方程不存在（7分）
②当斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 3 =1

可得（4k²+3）x²+8kx-8=0
∴x1x2=-

8

4k2+3

∵

PA

=(x1，y1-1)，

PB

 =(x2，y2-1)=(x2，kx2)
∴

PA

•

PB

=x1x2+k2x1x2（11分）
∴-

8(1+k2)

4k2+3

=-

5

2

（12分）
∴k2=

1

4

即k=±

1

2

∴直线l的方程为y=±

1

2

x+1（14分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线的综合性试题