Question

【题目】综合题。
（1）证明：Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m；
（2）证明：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n2n﹣1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：三种方法：法一：直接代公式：Cnm+Cnm﹣1= + = + = = ，

又Cn+1m= ，∴Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m．

法二：（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，共得到 个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n个红球中取，可得到 个不同组合；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m﹣1个，则得到 个不同组合，所以 ．

法三（构造）分别求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展开式中xm的系数，

（1+x）n+1的展开式中xm的系数为 ；

（1+x）（1+x）n=（1+x）（ ）的展开式中xm的系数为1× +1× = + ，

∵（1+x）n+1=（1+x）（1+x）n，∴展开式中xm的系数也相等，∴

（2）证明：法一：倒序相加法：f（n）=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，f（n）=nCnn+（n﹣1） …+3Cn3+2Cn2+Cn1，∴2f（n）=nCnn+（n﹣1+1） +…+（1+n﹣1） +n

=n（ + +…+ + ）=n2n，∴f（n）=n2n﹣1．

法二：公式法：利用公式 ，则Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n +n +…+n =n（ + +…+ ）=n2n﹣1，

∴Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n2n﹣1．

法三：构造函数f （x）=（1+x）n= ，两边求导得：

令x=1得： 成立

【解析】（1）三种方法：法一：直接利用组合数的计算公式即可证明． 法二：（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，共得到 个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n个红球中取m个不同的球；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m﹣1个，即可得出．法三（构造）分别求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展开式中xm的系数，利用二项式定理的展开式即可得出．（2）法一：倒序相加法；法二：公式法：利用公式 和 ，即可证明．法三：构造函数f （x）=（1+x）n= ，两边求导得：令x=1即可证明．