Question

【题目】已知椭圆C:（）的左顶点为A，离心率为，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线（）与椭圆C交于E，F两点，直线，分别与y轴交于点M，N，求证:在x轴上存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，以为直径的圆都必过点P，并求出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析，或

【解析】

（1）由题，得，，解方程组即可得到本题答案；

（2）联立直线方程与椭圆方程，求得直线的方程，然后可以确定点的坐标，由 得方程，求解即可得到本题答案.

（1）依题意，，所以①，又因为点在椭圆上，所以②，由①②解得，，所以椭圆方程为；

（2）假设存在这样的点P，设，，，则，联立，消去y，得，解得，， 因为，所以所在直线方程为， 可得，同理可得，

所以，，

则，解得或，所以存在点P且坐标为或，使得无论非零实数怎么变化，以为直径的圆都必过点P.