Question

（本小题满分12分）椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且 （m∈R）；

（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；

（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心。

Answer 1

解：（Ⅰ）由=及解得a²=4，b²=3，………………1分

椭圆方程为； ……………………………………………………………2分

设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即  ………………………3分

又，，两式相减得

;………………………………5分

（Ⅱ）设AB的方程为 y=，代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0， ……………6分

△=3(4-t²)，|AB|=，

点P到直线AB的距离为d=，

S_△PAB      == （-2<t<2）.  …………………8分

 令f(t) =3(2-t)³(2+t)，则f’(t)=-12(2-t)²(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），

    当-2<t<-1时，f’(t)>0，当-1<t<2时f’(t)<0，所以当t=-1时，f(t)有最大值81，

即△PAB的面积的最大值是；                 ………………………10分

根据韦达定理得 x₁+x₂=t=-1，而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，

于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐标为(0，0)．                …………………………………12分