Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴．
（1）用a分别表示b和c；
（2）当b•c取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）•e^x的单调区间．

Answer 1

分析：（1）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．
（2）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．

解答：解：（1）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（2）由（1）得bc=2a（2a+3）=4（a+

3

4

）²-

9

4

，
故当a=-

3

4

时，bc取得最小值-

9

4

．
此时有b=-

3

2

，c=

3

2

．
从而f（x）=-

3

4

x²-

3

2

x+

3

2

，f′（x）=-

3

2

x-

3

2

，g（x）=-f（x）e^x=（

3

4

x²+

3

2

x-

3

2

）e^x，
所以g′（x）=-f′（x）e^x+（-f（x））e^x=

3

4

（x²+4x）e^x
令g'（x）=0，解得x₁=0，x₂=-4．
当x∈（-∞，-4）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（-∞，-4）上为增函数；
当x∈（-4，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-4，0）上为减函数．
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
由此可见，函数g（x）的单调递增区间为（-∞，-4）和（0，+∞）；单调递增区间为（-4，0）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是函数的导函数的求解，属于中档题．