Question

【题目】已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1．

①当a=0时，不等式f（x）+1＞0的解集为_____；

②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】（0，+∞） （2，+∞）

【解析】

①把a=0代入函数解析式，可得不等式，对x分类求解得答案；

②转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可．

①当a=0时，不等式f（x）+1＞0x|2x|﹣1+1＞0，

即2x|x|＞0，

若x＜0，得﹣2x2＞0，不合题意；

若x=0，得0＞0，不合题意；

若x＞0，得2x2＞0，则x＞0．

综上，当a=0时，不等式f（x）+1＞0的解集为（0，+∞）；

②若函数f（x）有三个不同的零点，即方程x|2x﹣a|﹣1=0有3个不同根．

即|2x﹣a|有三个解，

令y=|2x﹣a|，则y，画出两个函数的图象，如图：

x，y，由y′2，解得x，x（舍去），

此时切点坐标（），代入y=a﹣2x，可得a=22，

函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，

则实数a的取值范围为（2，+∞）．

故答案为：（0，+∞）；（2，+∞）．