Question

设S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，已知a₁+a₂+a₆=15，S₇≥49．
（1）求a₃及S₅的值；   （2）求公差d的取值范围；    （3）求证：S₈≥64．

Answer 1

分析：（1）设等差数列的等差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的等式，变形后再利用等差数列的通项公式得到a₃的值，然后利用等差数列的求和公式及等差数列的性质把S₅变形，将a₃的值代入即可求出值；
（2）利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简已知的不等式，得出a₄大于等于7，根据等差数列的性质及a₃的值列出关于d的不等式，求出不等式的解集得到d的范围；
（3）把S₈利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简，再利用通项公式变形，得出关于a₄和d的式子，根据a₄和d的范围，即可求出S₈的范围，得证．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₂+a₆=a₁+（a₁+d）+（a₁+5d）=15，
∴3a₁+6d=15，即a₁+2d=5，
∴a₃=a₁+2d=5，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=25；
（2）由S₇=

7(a1+a7)

2

=7a₄≥49，
得到a₄≥7，
即a₄=a₃+d=5+d≥7，
解得：d≥2；
（3）∵a₄≥7，d≥2，
∴S₈=

8(a1+a8)

2

=4（a₁+a₈）
=4（2a₁+7d）=4[2（a₁+3d）+d]
=4（2a₄+d）≥4（2×7+2）=64．
则S₈≥64．

点评：此题考查了等差数列的通项公式，求和公式以及等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．