Question

【题目】已知函f（x）=ax2﹣ex（a∈R）． （Ⅰ）a=1时，试判断f（x）的单调性并给予证明；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）．
（i） 求实数a的取值范围；
（ii）证明：﹣ ． （注：e是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣ex ， f（x）在R上单调递减． 事实上，要证f′（x）=x2﹣ex在R上为减函数，只要证明f′（x）≤0对x∈R恒成立即可，
设g（x）=f′（x）=2x﹣ex ， 则g′（x）=2﹣ex ，
当x=ln2时，g′（x）=0，
当x∈（﹣∞，ln2）时，g′（x）＞0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＜0．
∴函数g（x）在（﹣∞，ln2）上为增函数，在（ln2，+∞）上为减函数．
∴f′（x）max=g（x）max=g（ln2）=2ln2﹣2＜0，故f′（x）＜0恒成立
所以f（x）在R上单调递减；
（Ⅱ）（i）由f（x）=ax2﹣ex ， 所以，f′（x）=2ax﹣ex ．
若f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 则x1 ， x2是方程f′（x）=0的两个根，
故方程2ax﹣ex=0有两个根x1 ， x2 ，
又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程 有两个根，
设 ，得 ．
若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．
若x＞0时，h（x）＞0．
当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．
要使方程 有两个根，需2a＞h（1）=e，故 且0＜x1＜1＜x2 ．
故a的取值范围为 ．
（ii）证明：由f′（x1）=0，得： ，故 ，x1∈（0，1）
= ，x1∈（0，1）
设s（t）= （0＜t＜1），则 ，s（t）在（0，1）上单调递减
故s（1）＜s（t）＜s（0），即
【解析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出函数的导函数，把导函数二次求导后，求出导函数的最大值，得到导函数的最大值小于0，从而得到原函数是实数集上的减函数；（Ⅱ）（i）把函数f（x）=ax2﹣ex有两个极值点转化为其导函数f′（x）=2ax﹣ex有两个根，分离变量a后分析右侧函数 的单调性，该函数先减后增有极小值，然后根据图象的交点情况得到a的范围；（ii）由x1是原函数的导函数的根，把x1代入导函数解析式，用x1表示a，然后把f（x1）的表达式中的a替换，得到关于x1的函数式后再利用求导判断单调性，从而得到要征得结论．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．