Question

（理科）已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

a

a-1

(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记Cn=

1

1+an

+

1

1-an+1

，设数列{C_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＞2n-

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件中数列的前n项和与项的递推关系，通过仿写得到另一个等式，两个式子相减得到数列的项间的递推关系，利用等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式．
（2）将（1）中求出的项代入已知等式得到b_n，求出数列{b_n}的前三项，利用等比数列前三项成等比数列，列出方程求出a的值，将a的值代入通项检验．
（3）求出通项C_n，利用放缩法将通项放缩得到一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出前n项和，不等式得证．

解答：解：（1）由（a-1）S_n=aa_n-a    ①
当n≥2时，（a-1）S_n-1=aa_n-1-a     ②
由①-②得n≥2时，（a-1）a_n=aa_n-aa_n-1即a_n=aa_n-1
又a₁=a≠0
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列
∴a_n=aⁿ
（2）bn=

2Sn

an

+1=

2a

1-a

(

1

a

)n+

3a-1

a-1

b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

又b₂²=b₁•b₃得（3a+2）²=3（3a²+2a+2）解得a=

1

3

又a=

1

3

时，bn=3n显然为等比数列
故a=

1

3

（3）由（2）得Cn=

3n

3n+1

+

3n+1

3n+1-1

=2-

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

又

2(3n-1)

(3n+1-1)(3n+1)

＜

2(3n-1)

(3n+1-3)(3n+1)

=

2 3

3n+1

＜

2 3

3n

∴

n

i=1

 

2(3i-1)

(3i+1-1)(3i+1)

＜ 

n

i=1

2 3

3i

=

2 3 × 1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

＜

1

3

∴Tn＞2n-

1

3

点评：已知数列的和与项的递推关系求通项时，一般利用仿写作差的方法将递推关系转化为项间的递推关系求出通项；解决一个数列是等差数列、等比数列求参数的范围，一般利用前三项列出等式求出参数，再代入通项检验．