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已知函数f(
1
x
)=
2x2+x+a
x
,其中x∈(0,1]
(Ⅰ)当a=
1
2
时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
分析:先利用换元法求其函数的解析式f(x)=ax+
2
x
+1
,定义域为x∈[1,+∞),
(Ⅰ)把a的值代入解析式中,化简成“对号”函数的形式f(x)=x+
a
x
(a>0)
,可以直接利用结论:
 f(x)在(-∞,-
a
);(
a
,+∞)单调递增
,在(-
a
,0);(0,+
a
)
单调递减,可以求出最小值,也可以用定义证明函数的单调性,然后求其最值即可.
(Ⅱ)先化简不等式,f(x)>0,再由分式不等式等价转化整式不等式ax2+x+2>0恒成立,然后采用分离常数法求实数a的取值范围即可.
解答:解:由题意知
f(
1
x
)=
2x2+x+a
x
,x∈(0,1]
设t=
1
x
∈[1,+∞),可求得函数f(x)的解析式为f(x)=ax+
2
x
+1
定义域为x∈[1,+∞) 
(Ⅰ)当a=
1
2
时,f(x)=
1
2
(x+
4
x
)+1
x∈[1,+∞) 
 用定义证明f(x)的单调性如下:
设1≤x1<x2≤2,则f(x1)-f(x2)=
1
2
(x1+
4
x1
)-
1
2
x2 +
4
x2
)
=
1
2
(x1-x2)(1-
4
x1x2
)

∵1≤x1<x2≤2
∴f(x1)-f(x2 )>0
故f(x)在[1,2]上单调递减.同理可证f(x)在[2,+∞)上单调递增.
∴f(x)的最小值为f(2)=3.
(Ⅱ)∵x∈[1,+∞),f(x)=ax+
2
x
+1
=
ax2+x+2
x
>0
恒成立
∴等价于当x∈[1,+∞),ax2+x+2>0恒成立即可
∴a>
-x-2
x2
在x∈[1,+∞)恒成立    又
1
x
∈(0,1]
令g(x)=
-x-2
x2
=-2(
1
x
2-
1
x
=-2(
1
x
+
1
4
2+
1
8

即g(x)∈[-3,0)
∴a≥0
故a的取值范围[0,+∞).
点评:本题对学生的程度要求比较高,有一定的难度,主要考查利用函数单调性求函数的最值,及不等式的等价转化思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(
1
x
)=
x
1-x
,则(  )
A、f(
1
x
)=f(x)
B、f(
1
x
)=-f(x)
C、f(
1
x
)=
1
f(x)
D、f(
1
x
)+1=-f(x)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x+
1x

(1)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(2)用定义证明f(x)在(0,1)和是减函数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(
1
x
)=
2x2+x+a
x
,其中x∈(0,1]
(Ⅰ)当a=
1
2
时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)在定义域内,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数f(
1
x
)=
x
1-x
,则(  )
A.f(
1
x
)=f(x)
B.f(
1
x
)=-f(x)
C.f(
1
x
)=
1
f(x)
D.f(
1
x
)+1=-f(x)

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