【题目】已知数列{an}满足a1=1,且4an+1﹣anan+1+2an=9(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)由(1)猜想{an}的通项公式an ;
(3)用数学归纳法证明(2)的结果.
【答案】(1)(2)猜想:
(3)见解析
【解析】
(1)由a1=1,且4an+1﹣anan+1+2an=9即可求得a2,a3,a4的值,从而可猜想{an}的通项公式;
(2)由(1)猜得an,
(3)利用数学归纳法证明,分三步:①当n=1时,猜想成立;②设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,去证明n=k+1时猜想也成立(应用上归纳假设),③综上所述,即可证得猜想成立.
解:(1)由4an+1﹣anan+1+2an=9得an+12,
∵a1=1,
∴a2=2﹣(),
同理可求,a3,a4,
(2)猜想:
(3)证明:①当n=1时,猜想成立.
②设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak,
则当n=k+1时,有ak+1=22,
所以当n=k+1时猜想也成立.
综合①②,猜想对任何n∈N*都成立.
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【题目】下列命题中是真命题的个数是( )
(1)垂直于同一条直线的两条直线互相平行
(2)与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行
(4)两条直线能确定一个平面
(5)垂直于同一个平面的两个平面平行
A. B. C. D.
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【题目】某机构组织语文、数学学科能力竞赛,按照一定比例淘汰后,颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示,其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.
(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数;
(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人,进行综合素质测试,将他们的综合得分绘成茎叶图,求样本的平均数及方差并进行比较分析;
(Ⅲ)已知本考场的所有考生中,恰有人两科成绩均为一等奖,在至少一科成绩为一等奖的考生中,随机抽取人进行访谈,求两人两科成绩均为一等奖的概率.
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【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.
求椭圆E的方程;
若A是椭圆E的左顶点,经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C,D两点,求与为坐标原点的面积之差绝对值的最大值.
已知椭圆E上点处的切线方程为,T为切点若P是直线上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为N,M,求证:直线MN恒过定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有个人参加。现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示,已知这组的参加者是6人。
(I)根据此频率分布直方图求;
(II)组织者从这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列、均值及方差.
(Ⅲ)已知和这两组各有2名数学教师。现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率
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【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;
(Ⅱ)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则,,)
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