Question

如图是计算首项为1的数列{a_n}前m项和S_m的算法框图，
（1）判断m的值；
（2）试写出a_n与a_n+1的关系式，并求该数列的通项公式
（3）根据框图分别利用For语句和Do Loop语句写出算法程序；
（4）在电脑上运行此程序，最后输出的结果是多少？

Answer 1

分析：（1）由判断框可知当i＞2010，应跳出循环，据此求出m．（2）由a←1，a←a+1，可得a₁=1，a_n+1=2a_n+1，可变形为a_n+1+1=2（a_n+1），进而可求出其通项公式．
（3）根据For语句及Do Loop语句写出即可．（4）由（2）中的通项公式an=2n-1，再根据等比数列的前n项公式求出即可．

解答：解：（1）由程序框图可以看出：循环程序是先执行一次，然后再判断条件，当执行了2010次以后，i变为2011，而2011＞2010，故应跳出循环，故是求前2010项和的值，因此m=2010．
（2）由a←1，a←a+1，∴a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，∴an+1=2×2n-1，∴an=2n-1．
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n-1．
（3）
用For语句描述算法为：
a=1
S=0
For  i=1  To  2010
S=S+a
a=2a+1
Next
输出S
用Do Loop语句描述算法为：
a=1
S=0
i=1
Do
S=S+a
a=2a+1
i=i+1
Loop  While  i＜=2010
输出S
（4）由（2）可知，an=2n-1，
∴S₂₀₁₀=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2²⁰¹⁰-1）=2¹+2²+…+2²⁰¹⁰-2010=

2×(22010-1)

2-1

-2010=2²⁰¹¹-2012．

点评：本题综合考查了循环结构的判断条件、输出结果、For语句及Do Loop语句，充分理解循环结构的功能和掌握For语句及Do Loop语句的结构形式是解题的关键．