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(本小题满分14分)

如图7,已知椭圆的离心率为,以椭圆的左顶点

圆心作圆,设圆与椭圆交于点与点

(1)求椭圆的方程;

(2)求的最小值,并求此时圆的方程;

(3)设点是椭圆上异于的任意一点,且直线分别与轴交于点

为坐标原点,求证:为定值.

 

 

【答案】

 

解:(1)依题意,得

故椭圆的方程为 .                ………………………………………3分

(2)方法一:点与点关于轴对称,设, 不妨设

由于点在椭圆上,所以.     (*)          ……………………4分         

由已知,则

 

.                    ……………………………………6分

由于,故当时,取得最小值为

由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到.  

故圆的方程为:.                         ……………………8分

方法二:点与点关于轴对称,故设

不妨设,由已知,则

 

.        ……………………………………………………6分

故当时,取得最小值为,此时

又点在圆上,代入圆的方程得到.  

故圆的方程为:.                         ……………………8分

(3) 方法一:设,则直线的方程为:

,得, 同理:,    ……………………10分

      (**)                     ……………………11分

又点与点在椭圆上,故,……………………12分

代入(**)式,得:

       

所以为定值.               ……………………14分

方法二:设,不妨设,其中.则直线的方程为:

,得

同理:,                 …………………………12分

所以为定值.               ……………………14分

 

【解析】略

 

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