Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{{x}^{2}-x，x＞0}\end{array}\right.$，
（1）作出函数的图象；
（2）根据图象判断函数的奇偶性，并写出单调区间；
（3）求函数的最小值，并求出对应的x的值；
（4）求满足f（x）=2的实数x．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次函数的性质即可作出函数的图象；
（2）结合函数图象的对称性即可判断函数的奇偶性，并写出单调区间；
（3）根据一元二次函数的性质即可求函数的最小值，并求出对应的x的值；
（4）根据分段函数解方程f（x）=2即可．

解答 解：（1）函数对应的图象如图；
（2）由图象可知函数关于y轴对称，则函数是偶函数，
函数的单调递增区间为为[-$\frac{1}{2}$，0），[$\frac{1}{2}$，+∞），
函数的单调递减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$]，（0，$\frac{1}{2}$]；
（3）由图象知当x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值，函数的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{4}$；
（4）当x＞0时，由f（x）=2得x²+x=2，
即x²+x-2=0，解得x=2或x=-1（舍），
根据偶函数的对称性可得当x＜0时，方程的解为x=-2，
综上方程的根为2，-2．

点评 本题主要考查分段函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．