Question

【题目】如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB平面α，M，N分别是AB，CD的中点，AB=2，VA= ，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C﹣AB﹣O的大小是（ ）

A.90°
B.105°
C.120°
D.135°

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设∠VMO=θ，
则∵M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA= ，
∴AM=1，VM= = =2，
MN=BC=AB=2，VN=VM=2，
则三角形VNM为正三角形，则∠NMV=60°，
则OM=2cosθ，
在三角形OMN中，
ON2=MN2+OM2﹣2MNOMcos（60°+θ）=4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）
=4+4cos2θ﹣8cosθ（ cosθ﹣ sinθ）
=4+4cos2θ﹣4cos2θ+4 sinθcosθ
=4+2 sin2θ，
∴要使ON最大，则只需要sin2θ=1，即2θ=90°即可，则θ=45°，
此时二面角C﹣AB﹣O的大小∠OMN=60°+θ=60°+45°=105°，
故选：B