Question

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左边xⁿ的系数为

C

n 2n

，而右边(1+x)n(1+x)n=(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)，xⁿ的系数为

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n-1 n

+

C

2 n

C

n-2 n

+…+

C

n n

C

0 n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2=

C

n 2n

．
利用上述方法，化简(

C

0 2n

)2-(

C

1 2n

)2+(

C

2 2n

)2-(

C

3 2n

)2+…+(

C

2n 2n

)2=

(-1)n

C

n 2n

．

Answer 1

分析：根据题意，构造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，分别从等式的左边和等式的右边求得x²ⁿ的系数，令其相等，即可求得原式的值．

解答：解：根据题意，构造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，
由等式的左边可得x²ⁿ的系数为C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，
即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，
由右等式的右端可得 x²ⁿ的系数为（-1）ⁿC_2nⁿ，
故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
故答案为（-1）ⁿC_2nⁿ．

点评：本题考查组合数公式的应用，涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题．