Question

【题目】如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=

∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.

(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论.

(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意及图形取AB的中点F，AC的中点M，得到四边形EMCD为矩形，利用线面平行的判定定理证得线面平行；

（Ⅱ）由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可.

试题解析：

(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.

证明如下：

取AB的中点F，连接DP，PF，EF，

则FP∥AC，FP=AC，

取AC的中点M，连接EM，EC，

因为AE=AC且∠EAC=60°，

所以△EAC是正三角形，所以EM⊥AC.

所以四边形EMCD为矩形，

所以ED=MC=AC.

又因为ED∥AC，

所以ED∥FP且ED=FP，

所以四边形EFPD是平行四边形，所以DP∥EF，

而EF平面EAB，DP平面EAB，

所以DP∥平面EAB.

(2)过C作CG∥AB，过B作BG∥AC，CG∩BG=G，连接GD.

因为ED∥AC，所以ED∥BG，

所以B，E，D，G四点共面，

所以平面EBD与平面ABC相交于BG，

因为CD⊥AC，平面ACDE⊥平面ABGC，

所以CD⊥平面ABGC，

又因为BG平面ABGC，

所以BG⊥CD，

又BG⊥GC，CD∩GC=C，

所以BG⊥平面CDG，

所以BG⊥DG，

所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ，设AB=AC=AE=a，

则GC=AB=a，DC=EM=a，

所以GD==a，

所以cosθ=cos∠DGC==.