Question

设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设M（x，y），A（x，y），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x=x，|y|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；
（Ⅱ）?x₁∈（0，1），设P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．
解答：解：（I）如图1，设M（x，y），A（x，y）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x，|y|=m|y|
∴x=x，|y|=|y|①
∵点A在圆上运动，∴②
①代入②即得所求曲线C的方程为
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），
（Ⅱ）如图2、3，?x₁∈（0，1），设P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），
∵P，H两点在椭圆C上，∴
①-②可得③
∵Q，N，H三点共线，∴k_QN=k_QH，∴
∴k_PQ•k_PH=
∵PQ⊥PH，∴k_PQ•k_PH=-1
∴
∵m＞0，∴
故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，计算要小心．