解答:解:(1)方程|f(x)|=g(x),即|x
2-1|=a|x-1|,变形得|x-1|(|x+1|-a)=0,
显然,x=1已是该方程的根,从而要使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解,
作出函数y=|x+1|的图象如图所示:
结合图形得a<0.
(2)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立,即(x
2-1)≥a|x-1|(*)对x∈R恒成立,
①当x=1时,(*)显然成立,此时a∈R;
②当x≠1时,(*)可变形为 a≤
,令 φ(x)=
=
,
∵当x>1时,φ(x)>2,当x<1时,φ(x)>-2,
∴φ(x)>-2,故此时a≤-2.
综合①②,得所求实数a的取值范围是a≤-2.
(3)∵h(x)=|f(x)|+g(x)=|x
2-1|+a|x-1|=
| x2+ax-a-1,x≥1 | -x2-ax+a+1,-1≤x<1 | x2-ax+a-1,x<-1 |
| |
,
选取区间[0,+∞)为实数a的取值范围,则
①当
>1即a>2时,可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,
且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3;
②当0
≤≤1即0≤a≤2时,可知,h(x)在[-2,-1],[-
,1]上递减,在[-1,-
],[1,2]上递增,
且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h(-
)=
+a+1,
经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为3a+3.
选区间[-3,0]为实数a的取值范围,则
①当-1
≤<0即-2≤a<0时,可知h(x)在[-2,-1],[-
,1]上递减,在[-1,-
],[1,2]上递增,
且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h(-
)=
+a+1,
经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3;
②当-
≤
<-1即-3≤a<-2时,可知h(x)在[-2,
],[1,-
]上递减,在[
,1],[-
,2]上递增,
且h(-2)=3a+3<0,h(2)=a+3≥0,
经比较,知此时h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3,
综上所述,当-3≤a<0时,h(x)在[-2,2]上的最大值为a+3.
选取区间(-∞,-3)为实数a的取值范围,
则
<-
,可知h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增,
故此时h(x)在[-2,2]上的最大值为h(1)=0,
综上所述,当a<-3时,h(x)在[-2,2]上的最大值为0..