Question

已知函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

A．	B．
C．	D．

Answer 1

C

解析试题分析：根据f（x+1）=﹣f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得
函数y=f（x）的图象与直线y="kx+k" 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围．
∵函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
可得当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x²，故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x²，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）²．
由于函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y="kx+k" 有4个交点，如图所示：
把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=，数形结合可得实数k的取值范围是 （0，]，
故选C．

考点：根的存在性及根的个数判断
点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题