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    【题目】用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁，抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点A，B，抛物线与梯形下底的两个焊接点为C，D，已知梯形的高是40厘米，C，D两点间的距离为40厘米．

    （1）求横梁AB的长度；

    （2）求梯形外框的用料长度；

    （注：细钢管的粗细等因素忽略不计，结果精确到1厘米）

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    （1）以为坐标原点建立直角坐标系，利用抛物线方程求出，点坐标，即可求出横梁的长度；

    （2）求出直线的方程，利用直线方程求出，点坐标，即可求出梯形外框的长度.

    （1）如图所示以为坐标原点建立直角坐标系，

    设抛物线方程为，

    由题知在抛物线上满足抛物线方程，

    所以点代入抛物线方程有，

    得到抛物线方程为，

    因为点，都在抛物线上，且点，的纵坐标都为，

    所以当时，有，

    有，，

    ，

    故横梁的长度为.

    （2）由题知点，是梯形与抛物线的公共点，且梯形的腰与抛物线相切，

    设直线，

    因为抛物线方程为，

    联立方程组为，

    整理得，

    ，

    故直线，

    当时，解得，故点，

    当时，解得，故点，

    有，，，

    因为梯形关于轴对称，

    所以梯形的周长为.

    练习册系列答案
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    (Ⅰ）求频率分布直方图中字母的值，并求该组的频率；

    （Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数的值（保留两位小数）；

    （Ⅲ）如图2是该市居民张某2016年1~6月份的月用水费（元）与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是若张某2016年1~7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数.

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    活动时间

    频数

    8

    10

    7

    9

    4

    2

    （1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；

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    灾害天气天数(天)

    2

    3

    4

    5

    8

    棉花产量(吨/公顷)

    3.2

    2.4

    2

    1.9

    1.7

    根据以上数据，技术人员分别借助甲乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，

    方程甲:，方程乙:.

    （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务:① 完成下表；(计算结果精确到0.1)

    ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并比铰的大小，判断哪个模型拟合效果更好?

    灾害天气天数(天)

    2

    3

    4

    5

    8

    棉花产量(吨公顷)

    3.2

    2.4

    2

    1.9

    1.7

    模型甲

    估计值

    2.4

    2.1

    1.6

    残差

    0

    0.1

    模型乙

    估计值

    2.3

    2

    1.9

    残差

    0.1

    0

    0

    （2）根据天气预报，今年五月份新疆市灾害天气是6天的概率是0.5，灾害天气是7天的概率为0.4，灾害天气是10天的概率为0.1，若何女士在新疆市承包了15公顷地种植棉花，请你根据第(1)问中拟合效果较好的模型估计一下何女士今年棉花的产量.(计算过程中所有结果精确到0.01)

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