Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n （m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m，n的值； 如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x+5）=f（x-3）可以得到对称轴是x=1，再根据方程f（x）=x有两个相等的实数根，得到判别式等于0，列出方程组求出a，b，即可得答案．
（2）求出函数的最大值，确定n≤$\frac{1}{4}$，从而知当n≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在[m，n]上为增函数．若满足题设条件的m，n存在，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，从而可求m，n的值

解答 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴对称轴是x=1，
得到-$\frac{b}{2a}$=1 ①
∵方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-1）²=0，∴b=1，代入①，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
∴2n$≤\frac{1}{2}$
∴n≤$\frac{1}{4}$
而f（x）的对称轴为x=1，
∴当n≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m=4m}\\{-{n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$
∵m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评 本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和存在性问题，属中档题．