Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点分别是F₁，F₂，点P为椭圆C上任意一点，且△PF₁F₂面积最大值为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若∠MAB=∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到关于a，b的方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，可解出a，b，从而可得出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）根据条件可得A的坐标为$（1，\frac{3}{2}）$，可设直线MN的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程便可得到（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，可设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理便可得到${x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，而根据条件可得到k_AM+k_AN=0，这样便可得出关于k，m的式子，并可整理成（2k-1）（2m+2k-3）=0，从而得出直线MN的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$；
即$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$①；
△PF₁F₂面积的最大值为$\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}•2c•b=\sqrt{3}$；
∴（a²-b²）b²=3②；
①②联立解得a²=4，b²=3；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）$A（1，\frac{3}{2}）$，设直线MN的方程为：y=kx+m，联立椭圆方程可得：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：
${x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$；
由∠MAB=∠NAB知，k_AM+k_AN=0；
∴$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}+\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}=0$；
即$（k{x}_{1}+m-\frac{3}{2}）（{x}_{2}-1）+（k{x}_{2}+m-\frac{3}{2}）（{x}_{1}-1）=0$；
∴$2k{x}_{1}{x}_{2}+（m-\frac{3}{2}-k）（{x}_{1}+{x}_{2}）+3-2m$=$\frac{2k（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}-（m-\frac{3}{2}-k）•\frac{8km}{3+4{k}^{2}}+3-2m=0$；
化简得，（2k-1）（2m+2k-3）=0；
∴$k=\frac{1}{2}$为定值．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，椭圆的离心率，以及直线的点斜式方程，韦达定理，根据点的坐标求直线的斜率．