如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2.
(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
(Ⅰ) 30°(Ⅱ)
【解析】
试题分析: (Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.
因为ABCD是矩形,所以
BC∥AD,
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1得
∠AQF=30°.即异面直线EF与BC所成角的大小为30°. 7分
(Ⅱ) 方法一:
设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.
因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,
所以AB⊥DG.所以DG⊥平面ABF.
过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,
所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.
在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=.
在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得=,
所以GH=.
在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=.
因为cos∠DHG==,得x=,
所以AB=. 15分
方法二:设AB=x.
以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则
F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),
所以=(1,-,0),=(2,0,-x).
因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
设=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则
所以,可取=(,1,).
因为cos<,>==,得x=,
所以AB=. 15分
考点:本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。
点评:如何用传统的方法求解此类问题,要紧扣相应的判定定理和性质定理,还要注意各类角的取值范围;如果用空间向量求解,思路比较简单,但是运算比较复杂,要仔细运算.
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C、
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D、
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