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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形, AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2.

(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小;

(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.

 

【答案】

(Ⅰ) 30°(Ⅱ)

【解析】

试题分析: (Ⅰ) 延长AD,FE交于Q.

因为ABCD是矩形,所以

BC∥AD,

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.

在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1得

∠AQF=30°.即异面直线EF与BC所成角的大小为30°.                   7分

(Ⅱ) 方法一:

设AB=x.取AF的中点G.由题意得DG⊥AF.

因为平面ABCD⊥平面ADEF,AB⊥AD,所以AB⊥平面ADEF,

所以AB⊥DG.所以DG⊥平面ABF.

过G作GH⊥BF,垂足为H,连结DH,则DH⊥BF,

所以∠DHG为二面角A-BF-D的平面角.

在直角△AGD中,AD=2,AG=1,得DG=

在直角△BAF中,由=sin∠AFB=,得

所以GH=

在直角△DGH中,DG=,GH=,得DH=

因为cos∠DHG=,得x=

所以AB=.                            15分

方法二:设AB=x.

以F为原点,AF,FQ所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系Fxyz.则

F(0,0,0),A(-2,0,0),E(,0,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),

所以=(1,-,0),=(2,0,-x).

因为EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).

=(x1,y1,z1)为平面BFD的法向量,则

所以,可取=(,1,).

因为cos<>=,得x=

所以AB=.                         15分

考点:本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。

点评:如何用传统的方法求解此类问题,要紧扣相应的判定定理和性质定理,还要注意各类角的取值范围;如果用空间向量求解,思路比较简单,但是运算比较复杂,要仔细运算.

 

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6
6
B、
21
6
C、
7
7
D、
21
7

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