Question

设x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

分析：（I）对函数求导可得，f′（x）=ax²+bx-a²，由题意可得x₁，x₂是方程的两根，根据方程的根与系数的关系可得x₁+x₂，x₁•x₂，而|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

，代入可求
（II）由（I）可得b²=4a²-4a³，构造函数g（a）=4a²-4a³，利用导数知识求函数g（a）的单调区间及最值，而b²≤g（a）_max，即可．

解答：解：（Ⅰ）对f（x）求导可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因为x₁，x₂是f（x）的两个极值点，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个实根．
于是x1+x2=-

b

a

，x1x2=-a，
故|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

b2

a2

+4a=4，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得证．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，设g（a）=4a²-4a³，
则g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0?0＜a＜

2

3

；g'（a）＜0?

2

3

＜a≤1．（10分）
故g（a）在a=

2

3

时取得最大值

16

27

，
即b2≤

16

27

，
所以|b|≤

4 3

9

．（13分）

点评：本题是函数的导数的简单运用，熟练运用导数的知识解决问题，要求考生熟练掌握基本知识，灵活转化问题，还要具备一定的逻辑推理的能力．