Question

直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R，则|ab|的范围是

[2，+∞）

．

Answer 1

分析：由直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直，结合两直线垂直，两斜率积为-1，我们易得到a，b的关系，代入|ab|结合基本不等式即可求出|ab|的范围．

解答：解：∵直线x+a²y+1=0与直线（a²+1）x-by+3=0互相垂直
∴

1

a2

×

a2+1

b

=-1
∴|b|=|

a2+1

a2

|
∴|ab|=|a•

a2+1

a2

|=|a+

1

a

|≥2
∴|ab|的范围是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题考查的知识点是直线的一般方程与直线垂直的关系，基本不等式在最值问题中的应用，其中利用两直线垂直，两斜率积为-1，我们易得到a，b的关系，是解答本题的关键．