Question

已知四棱锥P—ABCD(如图),底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,M、N分别为AD、BC的中点,MQ⊥PD于Q.

(1)求证:平面PMN⊥平面PAD;

(2)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为,求PA的长,

(3)求二面角P-MN-Q的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明:

∵PA⊥底面ABCD,MN底面ABCD,

∴MN⊥PA.

又MN⊥AD,PA∩AD=A,

∴MN⊥平面PAD.∵MN?平面PMN,

∴平面PMN⊥平面PAD.

(2)解:∵BC⊥BA,BC⊥PA,PA∩BA=A,

∴BC⊥平面PBA.

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角,即sin∠BPC=.

在Rt△PBC中,PC=,

∴.

(3)解:由(1),MN⊥平面PAD知PM⊥MN,MQ⊥MN,

∴∠PMQ即为二面角PMNQ的平面角.

而,,

∴cos∠PMQ=.